Federico, Victoria y sus compañeros de estudio se sentaron alrededor de una gran mesa redonda. Victoria quedó a la derecha de Federico.
Pusieron sobre la mesa las monedas de $1 que tenían y resultó ser que Federico tenía un peso más que Victoria. Victoria, a su vez, tenía $1 más que el chico a su derecha; y este $1 más que quien estaba a su derecha; y así seguían hasta completar la vuelta.
Federico decidió pasarle un peso a Victoria, quien a su vez le pasó dos pesos a quien estaba a su derecha, que a su vez le pasó tres pesos a quien estaba a su derecha, y así siguieron con este proceso hasta que uno de los estudiantes se quedó sin monedas. Cuando esto sucedió, Federico tenía 6 veces la cantidad de monedas que tenía Victoria.
Las preguntas son:
a/ ¿Cuántos estudiantes formaban el grupo? y
b/ ¿Cuántas monedas le quedaron finalmente a Federico?
Llamaremos
A = cantidad inicial de monedas que tiene Federico
N = cantidad de integrantes
V = vueltas totales
C : contador de vueltas.
Haciendo una tabla hipotética con números inventados se puede comprobar que:
O lo que es lo mismo:
Por ejemplo: A = 8, N = 5 :
| Estudiantes | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Federico | Victoria | 3 | 4 | 5 | ||
| Inicio | Tiene | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 |
| Vuelta 1 | Recibe | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Pasa | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| Tiene | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | |
| Vuelta 2 | Recibe | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Pasa | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| Tiene | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | |
| Vuelta 3 | Recibe | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| Pasa | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
| Tiene | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | |
| Vuelta 4 | Recibe | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| Pasa | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
| Tiene | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | |
| Situacion final | Recibe | 20 | ||||
| Tiene | 24 |
Se completaron 4 vueltas. Entonces
A - V = N - 1 queda 8 - 4 = 5 - 1
Al completar cada vuelta Federico recibe tantas monedas como el producto de la cantidad de integrantes del grupo por el número de vuelta:
N * C
Y entrega una moneda, o sea que le quedan
( N * C ) + A - C
Que en la última vuelta será: ( N * V ) + A - V (3)
Al finalizar el juego Victoria tiene A - V - 1 (4)
Ya que Federico tiene seis veces más monedas que Victoria ( N * V ) + A - V = 6 * ( A - V - 1 )
O lo que es lo mismo ( N * V ) = 5 * ( A - V ) - 6
Reemplazando ( A - V ) por su igual ( N - 1 )
( N * V ) = 5 * ( N - 1 ) - 6
( N * V ) = 5 * N - 11
( N * V ) - 11 = 5 * N
Despejando queda
5 = V + 11/N (5)
La única manera de que el cociente 11/N dé un número entero es que la cantidad de integrantes del grupo sea N = 11
De la (5) deducimos que se habrán dado V = 4 vueltas
De la (1), A = N + V - 1, surge que Federico tenía inicialmente 14 monedas
Y al finalizar el juego ( N * V ) + A - V = 54 monedas
a/ Estudiantes que formaban el grupo? : 11
b/ Monedas que le quedaron finalmente a Federico? : 54